Решение задачи №1

В треугольнике два угла по 30°, значит, третий угол равен: $$180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$$.

Пусть сторона, лежащая против угла в 120°, равна a. По теореме синусов имеем: $$\frac{a}{\sin{120^{\circ}}} = 2R$$, где R - радиус описанной окружности. Отсюда,$$a = 2R \cdot \sin{120^{\circ}} = 2 \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$.

Так как треугольник равнобедренный (два угла по 30°), то две другие стороны равны. Обозначим их как b. Снова применяем теорему синусов: $$\frac{b}{\sin{30^{\circ}}} = 2R$$, $$b = 2R \cdot \sin{30^{\circ}} = 2 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = 30$$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}b^2 \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30\sqrt{3} = 450\sqrt{3}$$.

Ответ: Площадь треугольника равна $$450\sqrt{3}$$.

Решение задачи №2

В треугольнике два угла равны 30° и 105°, значит, третий угол равен: $$180^{\circ} - 30^{\circ} - 105^{\circ} = 45^{\circ}$$.

Пусть сторона, лежащая против угла в 105°, равна a = 10. Пусть b и c - стороны, лежащие против углов 30° и 45° соответственно. По теореме синусов имеем: $$\frac{a}{\sin{105^{\circ}}} = \frac{b}{\sin{30^{\circ}}} = \frac{c}{\sin{45^{\circ}}}$$.

Найдем b: $$\frac{10}{\sin{105^{\circ}}} = \frac{b}{\sin{30^{\circ}}}$$, $$b = \frac{10 \cdot \sin{30^{\circ}}}{\sin{105^{\circ}}} = \frac{10 \cdot 0.5}{\sin{(60^{\circ} + 45^{\circ})}} = \frac{5}{\sin{60^{\circ}}\cos{45^{\circ}} + \cos{60^{\circ}}\sin{45^{\circ}}}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$.

Найдем c: $$\frac{10}{\sin{105^{\circ}}} = \frac{c}{\sin{45^{\circ}}}$$, $$c = \frac{10 \cdot \sin{45^{\circ}}}{\sin{105^{\circ}}} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20(\sqrt{12} - 2)}{4} = 5(2\sqrt{3} - 2) = 10(\sqrt{3} - 1)$$.

Стороны: a = 10, b = $$5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 5.18$$, c = $$10(\sqrt{3} - 1) \approx 7.32$$. Меньшая сторона: $$5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$.

Найдем радиус описанной окружности: $$R = \frac{a}{2\sin{105^{\circ}}} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$.

Ответ: Меньшая сторона: $$5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$, радиус описанной окружности: $$5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$.