Думая о будущем и беспокоясь о своих детях, Антип всегда откладывал что-нибудь на чёрный день.

Деепричастный оборот «думая о будущем и беспокоясь о своих детях» стоит перед основной частью предложения, поэтому отделяется запятой.

Ответ: Думая о будущем и беспокоясь о своих детях, Антип всегда откладывал что-нибудь на чёрный день.