Решение:

Упростим левую часть выражения:

$$\frac{c^2}{(c-5)^2} \cdot \frac{25-c^2}{5c+25} + \frac{c}{c-5} = \frac{c^2}{(c-5)^2} \cdot \frac{(5-c)(5+c)}{5(c+5)} + \frac{c}{c-5} = \frac{c^2(5-c)(5+c)}{5(c-5)^2(c+5)} + \frac{c}{c-5} = \frac{-c^2(c-5)(c+5)}{5(c-5)^2(c+5)} + \frac{c}{c-5} = \frac{-c^2}{5(c-5)} + \frac{c}{c-5}$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{-c^2}{5(c-5)} + \frac{c}{c-5} = \frac{-c^2}{5(c-5)} + \frac{5c}{5(c-5)} = \frac{-c^2 + 5c}{5(c-5)} = \frac{c(5-c)}{5(c-5)} = -\frac{c(c-5)}{5(c-5)} = -\frac{c}{5}$$.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.