4. Докажите, что значение выражения является рациональным числом.

Докажем, что значение выражения $$\frac{4}{2\sqrt{3}+1} - \frac{4}{2\sqrt{3}-1}$$ является рациональным числом. 1) Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{4}{2\sqrt{3}+1} - \frac{4}{2\sqrt{3}-1} = \frac{4(2\sqrt{3}-1) - 4(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}$$ 2) Раскроем скобки в числителе: $$4(2\sqrt{3}-1) - 4(2\sqrt{3}+1) = 8\sqrt{3} - 4 - 8\sqrt{3} - 4 = -8$$ 3) Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: $$(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1) = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$$ 4) Подставим полученные значения в выражение: $$\frac{-8}{11}$$ Так как числитель и знаменатель являются целыми числами, то данное число рациональное. Ответ: Значение выражения является рациональным числом.