115. Докажите, что значение выражения: 1) 8⁶ + 21⁵ кратно 9; 2) 14⁴ – 7⁴ кратно 5; 3) 9⁵ - 3⁸ кратно 2; 4) 6⁴ - 3⁶ кратно 7

**Решение:** 1) (8^6 + 21^5) кратно 9 (8 equiv -1 pmod{9}) (8^6 equiv (-1)^6 equiv 1 pmod{9}) (21 equiv 3 pmod{9}) (21^5 equiv 3^5 equiv 243 equiv 0 pmod{9}) (8^6 + 21^5 equiv 1 + 0 equiv 1 pmod{9}). Не кратно 9. 2) (14^4 - 7^4) кратно 5 (14^4 - 7^4 = (2 cdot 7)^4 - 7^4 = 16 cdot 7^4 - 7^4 = 15 cdot 7^4) (15 cdot 7^4) кратно 5, так как 15 кратно 5. 3) (9^5 - 3^8) кратно 2 (9^5 - 3^8 = (3^2)^5 - 3^8 = 3^{10} - 3^8 = 3^8(3^2 - 1) = 3^8(9 - 1) = 3^8 cdot 8) (3^8 cdot 8) кратно 2, так как 8 кратно 2. 4) (6^4 - 3^6) кратно 7 (6^4 - 3^6 = (2 cdot 3)^4 - 3^6 = 16 cdot 3^4 - 3^6 = 16 cdot 81 - 729 = 1296 - 729 = 567) (567 = 7 cdot 81), следовательно, кратно 7. **Объяснение:** Мы преобразуем выражения и используем свойства делимости, чтобы показать, что они кратны указанным числам.