Докажите, что выражение x² - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях х.

Доказательство:

Чтобы доказать, что квадратный трехчлен x² - 6x + 13 принимает положительные значения при любых значениях x, мы можем представить его в виде суммы квадрата какого-либо выражения и положительного числа. Для этого выделим полный квадрат:

1. Выделим полный квадрат:

x² - 6x + 13

Возьмем первые два члена: x² - 6x. Чтобы это стало квадратом разности (x - a)² = x² - 2ax + a², нам нужно, чтобы 2a = 6, то есть a = 3. Тогда a² = 3² = 9.

Перепишем выражение:

(x² - 6x + 9) - 9 + 13

Часть в скобках — это полный квадрат (x - 3)²:

(x - 3)² - 9 + 13

2. Упростим:

(x - 3)² + 4

3. Анализ результата:

Выражение (x - 3)² всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю) для любого действительного значения x, потому что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

(x - 3)² ≥ 0

Прибавляя к неотрицательному числу 4, мы получим:

(x - 3)² + 4 ≥ 0 + 4

(x - 3)² + 4 ≥ 4

Таким образом, выражение x² - 6x + 13 всегда больше или равно 4, а значит, оно всегда положительно для всех значений x.

Что и требовалось доказать.