Докажите, что выражение х² – 4х + 5 принимает поло- жительные значения при всех значениях х.

Выражение $$x^2 - 4x + 5$$ можно представить в виде квадратичной функции $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$.

Для доказательства, что выражение принимает только положительные значения, можно рассмотреть дискриминант данного квадратного трёхчлена: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$.

Так как дискриминант отрицательный, и коэффициент при $$x^2$$ (a = 1) положительный, то парабола не пересекает ось x и направлена вверх. Это означает, что все значения функции положительны.

Также можно выделить полный квадрат: $$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$$.

Так как $$(x - 2)^2$$ всегда неотрицательно (квадрат любого числа), то $$(x - 2)^2 + 1$$ всегда больше или равно 1, что означает, что выражение всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение принимает положительные значения при всех значениях x, так как его дискриминант отрицательный и коэффициент при x² положителен.