Докажите, что при любом значении p уравнение x² + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Решение:

1. Анализ условия:

   Чтобы квадратное уравнение имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть больше или равен нулю (D ≥ 0).

2. Нахождение дискриминанта:

   Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, дискриминант D = b² - 4ac.

   В нашем случае: a = 1, b = p, c = p - 1.

   D = p² - 4 * 1 * (p - 1)

   D = p² - 4p + 4

3. Упрощение выражения для дискриминанта:

   Выражение p² - 4p + 4 является полным квадратом:

   D = (p - 2)²

4. Проверка условия D ≥ 0:

   Так как квадрат любого действительного числа (p - 2)² всегда неотрицателен, то есть (p - 2)² ≥ 0 для любого значения p.

5. Вывод:

   Поскольку дискриминант D = (p - 2)² всегда ≥ 0, квадратное уравнение x² + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень (а при p ≠ 2 - два корня, при p = 2 - один корень) при любом значении p.

Ответ: Доказано.