342. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Доказательство: Пусть у нас есть окружность с центром O. Рассмотрим две хорды AB и CD, которые равноудалены от центра O. Это значит, что расстояния от центра до этих хорд равны, то есть OK = OL, где K и L - основания перпендикуляров, опущенных из центра O на хорды AB и CD соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle OKB\) и \(\triangle OLD\). В этих треугольниках: 1. OK = OL (по условию, хорды равноудалены от центра) 2. OB = OD (как радиусы одной и той же окружности) Следовательно, \(\triangle OKB = \triangle OLD\) по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что KB = LD. Так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам, то AB = 2 * KB и CD = 2 * LD. Поскольку KB = LD, то 2 * KB = 2 * LD, следовательно, AB = CD. Таким образом, хорды AB и CD равны, что и требовалось доказать.