Докажите, что АВ = CD (рис. 73), если AD = ВС и ∠DAC = ∠BCA.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ADC \) и \( \triangle CBA \).

У нас есть:

• \( AD = BC \) (по условию).
• \( \angle DAC = \angle BCA \) (по условию).
• \( AC \) — общая сторона для обоих треугольников.

По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, стороны \( AD \) и \( AC \) с углом \( \angle DAC \) в \( \triangle ADC \) равны сторонам \( BC \) и \( AC \) с углом \( \angle BCA \) в \( \triangle CBA \).

Следовательно, \( \triangle ADC = \triangle CBA \).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов.

Значит, \( AB = CD \) (как стороны, лежащие напротив равных углов \( \angle ACD \) и \( \angle CAB \) соответственно).

Доказано.