680 Докажите, что: а) h = ab; c б) ac = bc α2 = b2 .

Решение: а) Доказать: $$h = \frac{ab}{c}$$ Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: $$S = \frac{1}{2}ab$$ (как полупроизведение катетов) и $$S = \frac{1}{2}ch$$ (как полупроизведение гипотенузы на высоту, проведенную к ней). Приравниваем эти выражения: $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$ $$ab = ch$$ $$h = \frac{ab}{c}$$ Что и требовалось доказать. б) Доказать: $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$ Известно, что $$a^2 = a_c \cdot c$$ и $$b^2 = b_c \cdot c$$. Выразим отсюда ac и bc: $$a_c = \frac{a^2}{c}$$ $$b_c = \frac{b^2}{c}$$ Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства: $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = a^2 \cdot \frac{c}{a^2} = c$$ $$\frac{b^2}{b_c} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = b^2 \cdot \frac{c}{b^2} = c$$ Так как $$\frac{a^2}{a_c} = c$$ и $$\frac{b^2}{b_c} = c$$, то $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$, что и требовалось доказать. Ответ: Доказано.