Докажите, что: а) если к сумме двух чисел прибавить их произведение, получится удвоенное первое число; б) если из суммы двух чисел вычесть их произведение, получится удвоенное второе число.

Решение:

Обозначим два числа как \( x \) и \( y \).

а) Доказательство:

Условие задачи можно записать так: \( (x + y) + xy = 2x \).

Преобразуем левую часть равенства, чтобы получить правую:

1. \( (x + y) + xy \)
2. Прибавим и вычтем 1: \( x + y + xy + 1 - 1 \)
3. Сгруппируем члены: \( (x + xy) + (y + 1) - 1 \)
4. Вынесем общий множитель \( x \) из первой группы: \( x(1 + y) + (y + 1) - 1 \)
5. Вынесем общий множитель \( (y + 1) \): \( (x + 1)(y + 1) - 1 \)

Таким образом, \( (x + y) + xy = (x + 1)(y + 1) - 1 \).

Чтобы равенство \( (x + 1)(y + 1) - 1 = 2x \) было верным, должно выполняться условие \( (x + 1)(y + 1) = 2x + 1 \).

Это не выполняется для произвольных \( x \) и \( y \). Например, если \( x = 2, y = 3 \), то \( (2+1)(3+1) - 1 = 3 · 4 - 1 = 12 - 1 = 11 \), а \( 2x = 4 \). \( 11 \neq 4 \).

Следовательно, утверждение а) неверно.

б) Доказательство:

Условие задачи можно записать так: \( (x + y) - xy = 2y \).

Преобразуем левую часть равенства:

1. \( (x + y) - xy \)
2. Вынесем \( -1 \) из \( -xy \) и \( y \): \( x - xy + y \)
3. Прибавим и вычтем 1: \( x - xy + y + 1 - 1 \)
4. Сгруппируем члены: \( (x + 1) - (xy - y) - 1 \)
5. Вынесем общий множитель \( y \) из скобок: \( (x + 1) - y(x - 1) - 1 \)

Это преобразование тоже не ведет к \( 2y \). Попробуем другую группировку:

1. \( x + y - xy \)
2. Прибавим и вычтем 1: \( x + y - xy + 1 - 1 \)
3. Сгруппируем: \( (x + 1) + (y - xy) - 1 \)
4. Вынесем \( y \) из \( y - xy \): \( (x + 1) + y(1 - x) - 1 \)

Чтобы равенство \( (x + y) - xy = 2y \) было верным, должно выполняться условие \( x - xy = y \), или \( x - y = xy \). Это не выполняется для произвольных \( x \) и \( y \). Например, если \( x = 2, y = 3 \), то \( (2+3) - 2 · 3 = 5 - 6 = -1 \), а \( 2y = 6 \). \( -1 \neq 6 \).

Следовательно, утверждение б) неверно.