221. Является ли тождеством равенство: a) |a + 5| = a + 5; б) |a² + 4| = a² + 4; в) |a - b| - |b - a| = 0; г) |a + b| - |a| = |b|?

Решение:

а) |a + 5| = a + 5

Это равенство верно только тогда, когда \( a + 5 \ge 0 \), то есть \( a \ge -5 \). При \( a < -5 \) равенство неверно (например, при \( a = -6 \): \( |-6 + 5| = |-1| = 1 \), а \( -6 + 5 = -1 \). \( 1 \neq -1 \)). Следовательно, это не тождество.

б) |a² + 4| = a² + 4

Выражение \( a^2 \) всегда неотрицательно, поэтому \( a^2 + 4 \) всегда положительно. Модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, это тождество.

в) |a - b| - |b - a| = 0

Известно, что \( |a - b| = |-(b - a)| = |b - a| \). Поэтому \( |a - b| - |b - a| = |a - b| - |a - b| = 0 \). Следовательно, это тождество.

г) |a + b| - |a| = |b|

Это равенство верно не всегда. Например, если \( a = 2 \) и \( b = 3 \): \( |2 + 3| - |2| = |5| - 2 = 5 - 2 = 3 \). \( |b| = |3| = 3 \). Равенство выполняется.

Но если \( a = -2 \) и \( b = 3 \): \( |-2 + 3| - |-2| = |1| - 2 = 1 - 2 = -1 \). \( |b| = |3| = 3 \). \( -1 \neq 3 \). Следовательно, это не тождество.

Ответ: Тождествами являются равенства б) и в).