Докажи или опровергни высказывание: a) \(\exists n \in N: \frac{1}{5} < \frac{n}{60} < \frac{1}{4}\); б) \(\exists m \in N: \frac{1}{m+1} > \frac{1}{m}\)

Краткое пояснение: Докажем или опровергнем каждое из высказываний, проверив, существуют ли такие натуральные числа, которые удовлетворяют заданным неравенствам.

a) \(\exists n \in N: \frac{1}{5} < \frac{n}{60} < \frac{1}{4}\)

Чтобы доказать существование такого \(n\), преобразуем неравенство, умножив все части на 60:

\(\frac{1}{5} \cdot 60 < \frac{n}{60} \cdot 60 < \frac{1}{4} \cdot 60\)

\(12 < n < 15\)

Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству: 13 и 14. Значит, существует натуральное число \(n\), такое что \(\frac{1}{5} < \frac{n}{60} < \frac{1}{4}\). Например, \(n = 13\) или \(n = 14\).

Высказывание доказано.

б) \(\exists m \in N: \frac{1}{m+1} > \frac{1}{m}\)

Докажем, что такого \(m\) не существует. Для этого рассмотрим натуральные числа \(m\). Для любого натурального числа \(m\), \(m + 1 > m\). Следовательно, при делении 1 на большее число результат будет меньше, чем при делении 1 на меньшее число. То есть, \(\frac{1}{m+1} < \frac{1}{m}\) для любого натурального \(m\).

Таким образом, не существует натурального числа \(m\), такого что \(\frac{1}{m+1} > \frac{1}{m}\).

Высказывание опровергнуто.