2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что ОК 1 АВ, АК = 2 см, ВК = 8 см. Найдите диаго- нали ромба.

Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и перпендикулярны, то треугольник AOB - прямоугольный, где AO = OC, BO = OD.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2$$

Найдем сторону ромба:

$$AB = AK + KB = 2 + 8 = 10 \text{ см}$$

Рассмотрим треугольник AKO - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AO^2 = OK^2 + AK^2$$

OK - высота, проведенная к гипотенузе AB в прямоугольном треугольнике AOB. Следовательно:

$$OK^2 = AK \cdot KB = 2 \cdot 8 = 16$$

$$OK = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Найдем AO:

$$AO^2 = 16 + 4 = 20$$

$$AO = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см}$$

Тогда, AC = 2AO:

$$AC = 4\sqrt{5} \text{ см}$$

Найдем BO из треугольника ABO:

$$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 100 - 20 = 80$$

$$BO = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см}$$

Тогда, BD = 2BO:

$$BD = 8\sqrt{5} \text{ см}$$

Ответ: $$AC = 4\sqrt{5} \text{ см}$$, $$BD = 8\sqrt{5} \text{ см}$$