Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 4 и 10. Найдите скалярное произведение векторов АО и ВО

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

2. Пусть \( AC = 10 \) и \( BD = 4 \). Тогда \( AO = OC = \frac{10}{2} = 5 \) и \( BO = OD = \frac{4}{2} = 2 \).

3. Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{BO} \) перпендикулярны.

4. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю.

\( \vec{AO} \cdot \vec{BO} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\angle AOB) \)

\( \angle AOB = 90^{\circ} \), \( \cos(90^{\circ}) = 0 \).

\( \vec{AO} \cdot \vec{BO} = 5 \cdot 2 \cdot 0 = 0 \).

Ответ: 0.