Диагонали оснований правильной усеченной пирамида равны соответственно √32 м и √8 м. Найти площадь полной поверхности и объем этой пирамиды, если Н=3 м.

Дано:

• Правильная усеченная пирамида
• Диагональ большего основания d₁ = \sqrt{32} м
• Диагональ меньшего основания d₂ = \sqrt{8} м
• Высота H = 3 м

Найти: Площадь полной поверхности и объем.

Решение:

1. Находим стороны оснований:

• Основания – квадраты. Сторона квадрата равна диагонали, деленной на \sqrt{2}.
• Сторона большего основания a₁ = d₁ / \sqrt{2} = \sqrt{32} / \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4 м.
• Сторона меньшего основания a₂ = d₂ / \sqrt{2} = \sqrt{8} / \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2 м.

2. Находим площади оснований:

• Площадь большего основания S₁ = a₁² = 4² = 16 м².
• Площадь меньшего основания S₂ = a₂² = 2² = 4 м².

3. Находим объем усеченной пирамиды:

• V = (1/3) * H * (S₁ + S₂ + \sqrt{S₁ * S₂})
• V = (1/3) * 3 м * (16 м² + 4 м² + \sqrt{16 м² * 4 м²})
• V = 1 * (20 + \sqrt{64}) = 20 + 8 = 28 м³.

4. Находим площадь боковой поверхности:

• Боковая поверхность состоит из четырех равных трапеций.
• Нам нужна апофема трапеции (высота боковой грани).
• Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой H, разностью радиусов оснований (r₁ - r₂) и апофемой (l).
• Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны.
• r₁ = a₁ / 2 = 4 / 2 = 2 м.
• r₂ = a₂ / 2 = 2 / 2 = 1 м.
• Разность радиусов = r₁ - r₂ = 2 - 1 = 1 м.
• По теореме Пифагора, l² = H² + (r₁ - r₂)² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
• l = \sqrt{10} м.
• Площадь одной боковой грани (трапеции) S_трап = (1/2) * (a₁ + a₂) * l
• S_трап = (1/2) * (4 м + 2 м) * \sqrt{10} м = (1/2) * 6 * \sqrt{10} = 3\sqrt{10} м².
• Площадь боковой поверхности S_бок = 4 * S_трап = 4 * 3\sqrt{10} м² = 12\sqrt{10} м².

5. Находим площадь полной поверхности:

• S_полн = S₁ + S₂ + S_бок
• S_полн = 16 м² + 4 м² + 12\sqrt{10} м² = 20 + 12\sqrt{10} м².

Ответ: Объем = 28 м³, Площадь полной поверхности = 20 + 12\sqrt{10} м²