3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 8см, AB = 12см. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды.

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида SABCD
• O – центр основания
• S – вершина
• SO = 8 см (высота пирамиды)
• AB = 12 см (сторона основания)

Найти: Площадь поверхности и объем пирамиды.

Решение:

1. Объем пирамиды:
• V = (1/3) * S_осн * H
• S_осн = AB² = 12² = 144 см²
• H = SO = 8 см
• V = (1/3) * 144 см² * 8 см = 48 * 8 = 384 см³
2. Площадь поверхности:
• S_полн = S_осн + S_бок
• S_осн = 144 см² (уже посчитано)
• Для нахождения S_бок, нам нужна апофема (высота боковой грани).
• Найдем середину стороны AB, обозначим ее M. Тогда OM = AB / 2 = 12 см / 2 = 6 см (так как O - центр квадрата).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. По теореме Пифагора: SM² = SO² + OM² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
• SM = \sqrt{100} = 10 см (это апофема).
• Площадь одной боковой грани (например, SAB) равна S_SAB = (1/2) * AB * SM = (1/2) * 12 см * 10 см = 60 см².
• Площадь боковой поверхности S_бок = 4 * S_SAB = 4 * 60 см² = 240 см².
• Полная площадь поверхности S_полн = S_осн + S_бок = 144 см² + 240 см² = 384 см².

Ответ: Объем пирамиды = 384 см³, Площадь поверхности = 384 см²