24

Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Так как BC и AD - основания трапеции, то они параллельны. Значит, углы BOC и DOA равны как вертикальные, а углы OCB и OAD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
$$\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO}$$
Известно, что BC = 3, AD = 7, AC = 20. Также известно, что AC = AO + OC, значит OC = 20 - AO.
Тогда:
$$\frac{3}{7} = \frac{20 - AO}{AO}$$
$$3 \cdot AO = 7 \cdot (20 - AO)$$
$$3AO = 140 - 7AO$$
$$10AO = 140$$
$$AO = 14$$

Ответ: 14