4.Диагональ АС прямоугольной трапеции АBCD перпендикуляр на боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.

4. Трапеция ABCD прямоугольная, AC ⊥ CD, ∠CAD = 60°, AD = 24 см. Так как AC ⊥ CD, то ∠ACD = 90°. В прямоугольном треугольнике ACD ∠CAD = 60°, значит, ∠ADC = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, AC = AD/2 = 24/2 = 12 см.

CD можно найти по теореме Пифагора:

$$ CD^2 = AD^2 - AC^2 = 24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432 $$ $$ CD = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \text{ см} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠BAC = 90° - 60° = 30°. Следовательно, BC = AC/2 = 12/2 = 6 см.

Площадь трапеции равна:

$$ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CD = \frac{6 + 24}{2} \cdot 12\sqrt{3} = \frac{30}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 15 \cdot 12\sqrt{3} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

Ответ: $$180\sqrt{3}$$ см²