4 Дано: с 1. В. АВ 1 BD, CD 1 BD. AB = √6. CD=√3. AC=5. Найти: BD.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC, где AB ⊥ BD и CD ⊥ BD. Тогда ABD и BDC - прямоугольные треугольники.

По теореме Пифагора для треугольника ABD: $$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (\sqrt{6})^2 + BD^2 = 6 + BD^2$$.

По теореме Пифагора для треугольника BDC: $$BC^2 = BD^2 + CD^2 = BD^2 + (\sqrt{3})^2 = BD^2 + 3$$.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$$.

$$AC^2 = 5^2 = 25$$.

Так как AB ⊥ BD и CD ⊥ BD, то углы ABD и CDB прямые. Тогда угол ABC = угол ABD + угол DBC. $$AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos(\angle ABC)=AC^2$$

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(90^\circ) = AB^2 + BC^2$$.

$$5^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{BD^2+3})^2$$

$$25 = 6 + BD^2 + 3$$

$$25 = 9 + BD^2$$

$$BD^2 = 16$$

$$BD = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: 4