Дано РЕ || NK, MP=8см, MN=12см, МЕ=6см (рис). Найти а) МК; б) РЕ:NK, в) SMPE:SMNK

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN. Угол M общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} $$

Подставим известные значения: ME = 6 см, MP = 8 см, MN = 12 см.

$$ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} $$

Решим уравнение для MK:

$$ MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \text{ см} $$

б) Найдем PE, используя подобие треугольников MPE и MNK:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} $$

Нам нужно найти отношение PE:NK. Мы знаем, что ME/MK = 6/9 = 2/3. Следовательно:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{2}{3} $$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = ME/MK = 2/3.

Тогда отношение площадей SMPE к SMNK будет:

$$ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$

Ответ: а) 9 см; б) 2:3; в) 4:9