1. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE : NK; в) $$S_{MPE}:S_{MNK}$$

Решение:

Рассмотрим треугольники MPE и MNK.

Т.к. PE || NK, то ∠MPE = ∠MNK, ∠MEP = ∠MKN как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN.

Следовательно, ΔMPE ~ ΔMNK по двум углам.

а) Т.к. ΔMPE ~ ΔMNK, то \(\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}\).

Подставим известные значения: \(\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}\).

MK = \(\frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\) см.

б) \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

в) \(\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{PE}{NK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\).

Ответ: а) 9; б) 2/3; в) 4/9