4. Дано: О₁ и О₂ – точки пересечения медиан ΔADB и ΔBDC, O₁O₂ = 2√3, DC = 10.

Решение:

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды DO.

O₁O₂ - средняя линия треугольника DOC, где O₁ и O₂ - точки пересечения медиан треугольников ADB и BDC, соответственно.

Тогда:

\[DO = 2 \cdot O_1O_2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\]

Шаг 2: Найдем сторону основания AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOC. DC - боковое ребро, OC = (2/3) * CM, где CM - медиана и высота треугольника ABC.

По теореме Пифагора:

\[OC = \sqrt{DC^2 - DO^2} = \sqrt{10^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Тогда:

\[CM = \frac{3}{2} OC = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13}\]

Медиана в правильном треугольнике также является высотой и вычисляется по формуле:

\[AB = \frac{2}{\sqrt{3}} CM = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 3\sqrt{13} = \frac{6\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{39}\]

Шаг 3: Найдем площадь основания ABC.

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

\[S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{39})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot 39 = 39\sqrt{3}\]

Шаг 4: Найдем объем пирамиды DABC.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DO = \frac{1}{3} \cdot 39\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 13 \cdot 4 \cdot 3 = 156\]

Ответ: V = 156