6. Дано: DM = 2√3, ∠MDO = 60°.

Разбираемся:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle DMO$$:

   \[DO = DM \cdot cos(60) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\]

   \[OM = DM \cdot sin(60) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\]

   Так как в основании лежит правильный треугольник, то $$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$, где $$a$$ - сторона основания, $$r$$ - радиус вписанной окружности.

2. Выразим сторону основания:

   \[a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

3. Найдем площадь основания:

   \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}\]

4. Найдем объем пирамиды:

   \[V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27\]