DABC – объем правильной треугольной пирамиды \begin{aligned} DABC\text{ - правильная треугольная пирамида. }DO \perp (ABC)\\ DM \perp BC. DK \perp AB.\\ \text{Найдите объем пирамиды.} \end{aligned} 1. Дано: DO = 8, AD = 10.

Разбираемся:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AOD$$:

   \[AO = \sqrt{AD^2 - DO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

   Так как в основании лежит правильный треугольник, то $$AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где $$a$$ - сторона основания, $$R$$ - радиус описанной окружности.

2. Выразим сторону основания:

   \[a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

3. Найдем площадь основания:

   \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}\]

4. Найдем объем пирамиды:

   \[V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 8 = 9\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3}\]