3) Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

Рассмотрим рисунок 3.

Так как AB и BC - касательные к окружности, то отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то есть BA = BC.

Треугольники ABO и CBO являются прямоугольными, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (углы OAB и OCB - прямые).

Рассмотрим треугольники ABO и CBO. У них OB - общая сторона, OA = OC (радиусы), углы OAB и OCB прямые. Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что углы ABO и CBO равны. Обозначим угол ABO как \(\alpha\). Тогда и угол CBO также равен \(\alpha\).

Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. Получаем:

$$\angle OAB + \angle ABC + \angle BCO + \angle COA = 360^\circ$$ $$90^\circ + 2\alpha + 90^\circ + \angle COA = 360^\circ$$ $$180^\circ + 2\alpha + \angle COA = 360^\circ$$ $$2\alpha + \angle COA = 180^\circ$$

В треугольнике ABO:

$$sin(\alpha) = \frac{OA}{OB} = \frac{4}{2} = 2$$

Так как синус угла не может быть больше 1, то в данном случае условие задачи противоречиво. Предположим, что AO = 1, тогда:

$$sin(\alpha) = \frac{1}{2}$$

Тогда \(\alpha = 30^\circ\). Следовательно, угол ABC равен 60 градусам.

$$2 \cdot 30^\circ + \angle COA = 180^\circ$$ $$\angle COA = 120^\circ$$

Тогда угол BOC:

$$\angle BOC = 360^\circ - (\angle BOA + \angle COA) = 360^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$$

При условии, что AO = 1:

Ответ: ∠BOC = 90°