4) Дано: АВ - касательная, R = 6, AO = OB. Найти: АО.

Рассмотрим рисунок 4.

Пусть AO = OB = x.

Так как AB - касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, угол OBA - прямой.

В прямоугольном треугольнике ABO, по теореме Пифагора:

$$AO^2 = AB^2 + R^2$$ $$x^2 = 16^2 + 6^2$$ $$x^2 = 256 + 36$$ $$x^2 = 292$$ $$x = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$$

Ответ: $$AO = 2\sqrt{73}$$