3) Дано: АВ, ВС – касательные, ОВ = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

Рассмотрим рисунок 3. Так как AB и BC - касательные к окружности, то радиусы OB и OC, проведенные в точки касания B и C, перпендикулярны касательным AB и BC соответственно. Значит, углы ABO и ACO - прямые. Треугольники ABO и ACO - прямоугольные.

Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, ∠BOC = 360° - ∠ABO - ∠ACO - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - ∠BAC = 180° - ∠BAC. В прямоугольном треугольнике ABO известно OB = 2 и AO = 4. Тогда $$\sin ∠BAO = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, ∠BAO = 30°. Аналогично, ∠CAO = 30°, значит ∠BAC = ∠BAO + ∠CAO = 30° + 30° = 60°.

Тогда ∠BOC = 180° - ∠BAC = 180° - 60° = 120°.

Ответ: ∠BOC = 120°