4) Дано: АВ – касательная, R = 6, AO = OB. Найти: АО.

Рассмотрим рисунок 4. Так как AB - касательная, то радиус OB, проведенный в точку касания B, перпендикулярен касательной AB. Значит, треугольник ABO - прямоугольный с прямым углом B. По условию задачи AB = 16, OB = R = 6. Нужно найти AO. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABO имеем: $$AO^2 = AB^2 + OB^2$$.

Подставим известные значения: $$AO^2 = 16^2 + 6^2 = 256 + 36 = 292$$. Тогда $$AO = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$$.

Ответ: $$AO = 2\sqrt{73}$$