5. Дана правильная четырехугольная пирамида, её высота равна 3, площадь боковой поверхности 80. Найдите площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Площадь боковой поверхности нам известна, она равна 80. Нужно найти площадь основания. Пусть сторона основания равна a, а апофема равна l. Тогда площадь боковой поверхности равна: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l = \frac{1}{2} (4a) l = 2al = 80\) \(al = 40\) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. По теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\) \(l^2 = 3^2 + \frac{a^2}{4}\) \(l^2 = 9 + \frac{a^2}{4}\) Выразим l через a из уравнения al = 40: \(l = \frac{40}{a}\). Подставим в уравнение выше: \((\frac{40}{a})^2 = 9 + \frac{a^2}{4}\) \(\frac{1600}{a^2} = 9 + \frac{a^2}{4}\) Умножим обе части на \(4a^2\): \(6400 = 36a^2 + a^4\) \(a^4 + 36a^2 - 6400 = 0\) Пусть \(x = a^2\), тогда уравнение примет вид: \(x^2 + 36x - 6400 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6400) = 1296 + 25600 = 26896\) \(x_1 = \frac{-36 + \sqrt{26896}}{2} = \frac{-36 + 164}{2} = \frac{128}{2} = 64\) \(x_2 = \frac{-36 - 164}{2} = \frac{-200}{2} = -100\) Так как \(x = a^2\), то \(x\) должно быть положительным, значит \(x = 64\). \(a^2 = 64\), следовательно, \(a = 8\). Площадь основания равна \(a^2 = 8^2 = 64\). Площадь полной поверхности равна \(80 + 64 = 144\). Ответ: 144