2) Дан треугольник АВС, Е Є АВ, КЄ ВС, ВЕ: ВА = ВК: ВС = 2 : 5. а) Докажите, что ЕК || а. Через прямую АС проходит плоскость а, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4 см.

а) Рассмотрим треугольник АВС. Так как ВЕ: ВА = ВК: ВС = 2 : 5, то ЕК || АС (по теореме о пропорциональных отрезках).

Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. Следовательно, ЕК || α.

б) Найдем длину отрезка АС.

Так как ВЕ: ВА = 2 : 5, то АВ = 5/2 ВЕ и ВС = 5/2 ВК.

Так как ЕК || АС, то треугольники ВЕК и ВАС подобны. Следовательно, ЕК / АС = ВЕ / ВА = 2 / 5.

АС = 5/2 ЕК = 5/2 · 4 = 10 см.

Ответ: а) ЕК || α; б) АС = 10 см.