2. Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите параллельность прямых $$B_1C$$ и $$A_1D$$. Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью $$MEK$$ (рис. 4).

Доказательство параллельности прямых $$B_1C$$ и $$A_1D$$:

Прямые $$B_1C$$ и $$A_1D$$ лежат в плоскости $$A_1B_1CD$$. В параллелепипеде $$A_1B_1 || CD$$ и $$A_1B_1 = CD$$. Следовательно, $$A_1B_1CD$$ – параллелограмм, и $$B_1C || A_1D$$ как противоположные стороны параллелограмма.

Построение сечения параллелепипеда плоскостью $$MEK$$:

1. Продолжим прямую $$ME$$ до пересечения с прямой $$AA_1$$ в точке $$F$$.
2. Соединим точки $$F$$ и $$K$$ прямой линией. Эта линия пересекает ребро $$DD_1$$ в точке $$G$$.
3. Соединим точки $$M$$ и $$G$$ прямой линией. Эта линия лежит в плоскости $$ADD_1$$.
4. Соединим точки $$K$$ и $$E$$ прямой линией. Эта линия лежит в плоскости $$BCC_1$$.

Четырехугольник $$MEKG$$ и будет искомым сечением.