16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F, BF=12, DF=9, AB=8. Найдите CD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$BF \cdot FC = AF \cdot FD$$ Выразим $$FC$$ и $$AF$$ через известные величины: $$FC = BF + BC$$ $$AF = AB + BF$$ $$FD = 9$$ $$BF = 12$$ $$AB = 8$$ Пусть $$CD = x$$, тогда $$CF = BC + 12$$ и $$AF = AD + 9$$. Тогда $$BF \cdot FC = AF \cdot FD$$ принимает вид: $$12 \cdot BC = AF \cdot 9$$ Используем свойство пересекающихся хорд: $$BF \cdot FC = AF \cdot FD$$ $$12(BC) = (8 + AF)9$$ Из подобия треугольников ABF и CDF следует: $$\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DF}$$ $$\frac{8}{CD} = \frac{12}{9}$$ $$CD = \frac{8 \cdot 9}{12} = \frac{72}{12} = 6$$ Ответ: CD = 6