Четырёхугольник ABCD вписан B окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К. BK = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

Решение:

Для вписанного четырёхугольника ABCD, пересекающиеся хорды AC и BD в точке K, или секущие AB и CD, пересекающиеся в точке K, выполняется свойство:

\( KA \cdot KB = KC \cdot KD \)

Также, по свойству пересекающихся хорд (или секущих, если рассмотреть окружность, описанную около ABCD), имеем:

\( AK \cdot BK = CK \cdot DK \)

Или, в случае секущих, выходящих из одной точки K:

\( KD \cdot KC = KB \cdot KA \)

В данном случае, у нас есть секущие AB и CD, пересекающиеся в точке K. Точки A, B, C, D лежат на окружности. Поэтому:

\( KA \cdot KB = KC \cdot KD \)

Также, в подобном случае, для подобных треугольников \( \triangle KAD \sim \triangle KCB \) и \( \triangle KAC \sim \triangle KBD \), из чего следует:

\( \frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \)

Из подобия \( \triangle KAD \sim \triangle KCB \) следует, что:

\( \frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \)

Нам дано:

• \( BK = 18 \)
• \( DK = 9 \)
• \( BC = 16 \)

Из рисунка видно, что точка K лежит вне отрезков AB и CD. Точка A лежит между K и B. Точка D лежит между K и C.

\( KB = KA + AB \) или \( AB = KB - KA \)

\( KC = KD + DC \) или \( DC = KC - KD \)

Но по условию, прямые AB и CD пересекаются в точке K. Это означает, что K может быть как снаружи, так и внутри четырёхугольника. По рисунку, K - внешняя точка.

Для секущих, выходящих из точки K, справедливо:

\( KD KC = KB KA \)

Из подобия \( \triangle KDA \sim \triangle KBC \) имеем:

\( \frac{KD}{KB} = \frac{KA}{KC} = \frac{DA}{BC} \)

У нас дано:

• \( BK = 18 \)
• \( DK = 9 \)
• \( BC = 16 \)

Из подобия \( \triangle KDA \sim \triangle KBC \) получаем:

\( \frac{DA}{BC} = \frac{KD}{KB} \)

\( \frac{AD}{16} = \frac{9}{18} \)

\( \frac{AD}{16} = \frac{1}{2} \)

\( AD = 16 \cdot \frac{1}{2} \)

\( AD = 8 \)

Ответ: 8.