Четвертое задание. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P(1;0) на угол а) 9п; б) $$-\frac{11\pi}{2}$$; в) 450°.

Решение:

Для поворота точки \( P(x_0, y_0) \) на угол \( \alpha \) вокруг начала координат \( (0,0) \) используются формулы:

\( x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha \)

\( y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha \)

В данном случае \( P(1;0) \), то есть \( x_0 = 1 \) и \( y_0 = 0 \).

Формулы упрощаются до:

\( x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha \)

Таким образом, координаты новой точки будут \( (\cos \alpha, \sin \alpha) \).

1. Поворот на угол \( 9\pi \):

\( 9\pi \) — это \( 4 \cdot 2\pi + \pi \). Угол \( 9\pi \) эквивалентен углу \( \pi \) (или \( 180^{\circ} \)).

\( x = \cos(\pi) = -1 \)

\( y = \sin(\pi) = 0 \)

Координаты точки: \( (-1, 0) \).

2. Поворот на угол \( -\frac{11\pi}{2} \):

\( -\frac{11\pi}{2} = -(\frac{8\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) = -(4\pi + \frac{3\pi}{2}) \). Угол \( -\frac{11\pi}{2} \) эквивалентен углу \( -\frac{3\pi}{2} \) (или \( \frac{\pi}{2} \), или \( 90^{\circ} \)), так как \( -4\pi \) — полный оборот.

\( x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)

\( y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)

Координаты точки: \( (0, 1) \).

3. Поворот на угол \( 450^{\circ} \):

\( 450^{\circ} = 360^{\circ} + 90^{\circ} \). Угол \( 450^{\circ} \) эквивалентен углу \( 90^{\circ} \) (или \( \frac{\pi}{2} \) радиан).

\( x = \cos(90^{\circ}) = 0 \)

\( y = \sin(90^{\circ}) = 1 \)

Координаты точки: \( (0, 1) \).

Ответ: а) \( (-1; 0) \); б) \( (0; 1) \); в) \( (0; 1) \).