6. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника (рис. 62).

Пусть $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Пусть $$d$$ - прямая, проходящая через точку $$O$$ и перпендикулярная плоскости треугольника $$ABC$$. Пусть $$X$$ - произвольная точка на прямой $$d$$. Докажем, что $$XA = XB = XC$$.

Так как $$O$$ - центр описанной окружности, то $$OA = OB = OC = R$$, где $$R$$ - радиус окружности.

Рассмотрим треугольники $$XOA$$, $$XOB$$ и $$XOC$$. Так как $$XO \perp$$ плоскости $$ABC$$, то $$XO \perp OA$$, $$XO \perp OB$$ и $$XO \perp OC$$. Следовательно, $$\angle XOA = \angle XOB = \angle XOC = 90^\circ$$.

Тогда треугольники $$XOA$$, $$XOB$$ и $$XOC$$ - прямоугольные и имеют общий катет $$XO$$. Кроме того, $$OA = OB = OC = R$$. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что $$XA = XB = XC$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что каждая точка прямой, проходящей через центр описанной около треугольника окружности и перпендикулярной плоскости треугольника, равноудалена от вершин треугольника.