8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин В и С, если АС = a, BC = b, AD = c.

Расстояние от точки D до вершины С – это длина отрезка DC. Так как AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то AD перпендикулярна AC и AD перпендикулярна BC. Следовательно, треугольник ADC – прямоугольный с прямым углом A, и треугольник ADB – прямоугольный с прямым углом A.

Тогда по теореме Пифагора:

• $$DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{c^2 + a^2}$$
• $$DB = \sqrt{AD^2 + AB^2}$$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

• $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Тогда:

• $$DB = \sqrt{c^2 + a^2 + b^2}$$

Ответ: $$DC = \sqrt{c^2 + a^2}$$, $$DB = \sqrt{c^2 + a^2 + b^2}$$