Через точки A, B и середину M отрезка AB проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$M_1$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$MM_1$$, если $$AA_1 = 13$$ дм, $$BB_1 = 7$$ дм, причем отрезок $$AB$$ пересекает данную плоскость (рисунок 52).

Пусть точка $$O$$ – точка пересечения прямой $$AB$$ и плоскости.

Рассмотрим $$\triangle AA_1O$$ и $$\triangle BB_1O$$. Они подобны по двум углам ($$\angle AOA_1 = \angle BOB_1$$ как вертикальные, $$\angle AA_1O = \angle BB_1O$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$ и секущей $$A_1B_1$$).

Из подобия следует: $$\frac{AO}{BO} = \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{13}{7}$$

Тогда: $$\frac{AO}{AB} = \frac{AO}{AO + BO} = \frac{\frac{AO}{BO}}{\frac{AO}{BO} + 1} = \frac{\frac{13}{7}}{\frac{13}{7} + 1} = \frac{13}{13+7} = \frac{13}{20}$$

Так как $$M$$ – середина $$AB$$, то $$AM = MB = \frac{1}{2} AB$$.

Рассмотрим $$\triangle AOM_1$$ и $$\triangle AA_1O$$. Они подобны по двум углам ($$\angle AOM_1 = \angle AOA_1$$ как общий, $$\angle AMO = \angle AA_1O$$ как соответственные при параллельных прямых $$MM_1$$ и $$AA_1$$ и секущей $$AO$$).

Из подобия следует: $$\frac{MM_1}{AA_1} = \frac{AM}{AO} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AO} = \frac{AB}{2AO}$$

Тогда: $$\frac{MM_1}{AA_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB}{AO} = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{13} = \frac{10}{13}$$

$$MM_1 = \frac{10}{13} AA_1 = \frac{10}{13} \cdot 13 = 10$$

Ответ: 10 дм.