C1. Каким числом, рациональным или иррациональным, может быть значение выражения $a^2+ab+b^2$, если известно, что $a^3$, $b^3$ и $a-b$ — рациональные числа, причём $a\ne b$?

Question

$Фото задания: C1. Каким числом, рациональным или иррациональным, может быть значение выражения $a^2+ab+b^2$, если известно, что…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу разности кубов:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\]

Так как $a^3$ и $b^3$ — рациональные числа, то их разность $a^3-b^3$ также рациональна.

Число $a-b$ рационально и не равно нулю, поскольку $a\ne b$. Поэтому можно разделить равенство на $a-b$:

\[a^2+ab+b^2=\frac{a^3-b^3}{a-b}.\]

Правая часть является отношением рациональных чисел, следовательно, значение выражения рационально.

Ответ: рациональным числом.

C1. Каким числом, рациональным или иррациональным, может быть значение выражения \(a^2+ab+b^2\), если известно, что \(a^3\), \(b^3\) и \(a-b\) — рациональные числа, причём \(a\ne b\)?