7.Биссектриса угла треугольника делит его катет на отрезки 12 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть биссектриса угла C делит сторону AB на отрезки AD = 12 см и DB = 20 см. Тогда \( \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} \). Пусть AC = 12x, BC = 20x.

Так как треугольник прямоугольный, то \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), где AB = AD + DB = 12 + 20 = 32 см.

\( (12x)^2 + (20x)^2 = 32^2 \)

\( 144x^2 + 400x^2 = 1024 \)

\( 544x^2 = 1024 \)

\( x^2 = \frac{1024}{544} = \frac{64}{34} = \frac{32}{17} \)

\( x = \sqrt{\frac{32}{17}} = 4\sqrt{\frac{2}{17}} \)

Тогда, AC = \( 12x = 48\sqrt{\frac{2}{17}} \) и BC = \( 20x = 80\sqrt{\frac{2}{17}} \).

Площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt{\frac{2}{17}} \cdot 80\sqrt{\frac{2}{17}} = 1920 \cdot \frac{2}{17} = \frac{3840}{17} \) см².

Ответ: \( \frac{3840}{17} \) см²