11. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найдите угол при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, причем ∠ADB = ∠BAC.

Обозначим угол при основании, ∠BAC, как x. Тогда ∠ADB также равен x.

Поскольку AD - биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠CAD = x/2.

Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°, поэтому ∠BAD + ∠ADB + ∠ABD = 180°.

Подставляем известные значения: x/2 + x + ∠ABD = 180°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = x.

Следовательно, ∠ABD = ∠ABC = x.

Таким образом, имеем: x/2 + x + x = 180°.

Приводим подобные слагаемые: 2.5x = 180°.

Решаем уравнение: x = 180° / 2.5 = 72°.

Итак, угол при основании равен 72°.