5. Решите задачу. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна стороне треугольника. Определите углы данного треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Угол при основании - угол BAC и угол BCA. Угол при вершине - угол ABC.

Пусть CD - биссектриса угла BCA, где D лежит на AB. По условию, CD = BC.

Так как CD - биссектриса угла BCA, то \( \angle BCD = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCA \).

В треугольнике BCD, CD = BC. Следовательно, треугольник BCD равнобедренный. Тогда углы при основании равны:

\( \angle CBD = \angle CDB \).

Угол \( \angle CDB \) является внешним углом треугольника ACD. Поэтому \( \angle CDB = \angle CAD + \angle ACD \).

Так как \( \angle CBD = \angle CDB \), то \( \angle CBD = \angle CAD + \angle ACD \).

В треугольнике ABC, AB = BC, значит \( \angle BAC = \angle BCA \).

В треугольнике BCD, \( \angle CBD \) - это угол ABC, а \( \angle BAC \) - это угол ABC. Мы знаем, что \( \angle BAC = \angle BCA \).

В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°: \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).

Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( 2 \angle BAC + \angle ABC = 180° \).

В равнобедренном треугольнике BCD, \( \angle CBD = \angle CDB \). Мы также знаем, что \( \angle CDB = \angle CAD + \angle ACD \).

Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = 2x \). Тогда \( \angle ABC = 180° - 4x \).

\( \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCA = x \).

В треугольнике BCD:

\( \angle CBD = \angle ABC = 180° - 4x \).

\( \angle CDB = \angle CBD = 180° - 4x \).

\( \angle CDB = \angle CAD + \angle ACD \) => \( 180° - 4x = 2x + x \) => \( 180° = 7x \) => \( x = \frac{180°}{7} \).

Теперь найдём углы треугольника ABC:

\( \angle BAC = \angle BCA = 2x = 2 \cdot \frac{180°}{7} = \frac{360°}{7} \approx 51.4° \).

\( \angle ABC = 180° - 4x = 180° - 4 \cdot \frac{180°}{7} = 180° \cdot (1 - \frac{4}{7}) = 180° \cdot \frac{3}{7} = \frac{540°}{7} \approx 77.1° \).

Проверим условие CD = BC.

В треугольнике BCD:

\( \angle BCD = x = \frac{180°}{7} \).

\( \angle CBD = 180° - 4x = \frac{540°}{7} \).

\( \angle CDB = 180° - 4x = \frac{540°}{7} \).

Углы при основании BC треугольника BCD не равны. Значит, есть ошибка в предположении. Пересмотрим.

Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Тогда \( \angle ABC = 180° - 2\alpha \).

Пусть CD - биссектриса \( \angle BCA \). Тогда \( \angle BCD = \angle ACD = \frac{\alpha}{2} \).

По условию, CD = BC. Треугольник BCD равнобедренный. Значит, \( \angle CBD = \angle CDB \).

\( \angle CBD = \angle ABC = 180° - 2\alpha \).

\( \angle CDB \) - внешний угол треугольника ACD. \( \angle CDB = \angle CAD + \angle ACD = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2} \).

Приравниваем углы при основании равнобедренного треугольника BCD:

\( \angle CBD = \angle CDB \)

\( 180° - 2\alpha = \frac{3\alpha}{2} \)

Умножаем на 2:

\( 360° - 4\alpha = 3\alpha \)

\( 360° = 7\alpha \)

\( \alpha = \frac{360°}{7} \).

Теперь находим углы треугольника ABC:

\( \angle BAC = \angle BCA = \alpha = \frac{360°}{7} \approx 51.4° \).

\( \angle ABC = 180° - 2\alpha = 180° - 2 \cdot \frac{360°}{7} = 180° - \frac{720°}{7} = \frac{1260° - 720°}{7} = \frac{540°}{7} \approx 77.1° \).

Проверим: \( \frac{360°}{7} + \frac{360°}{7} + \frac{540°}{7} = \frac{720° + 540°}{7} = \frac{1260°}{7} = 180° \).

Ответ: Углы данного треугольника равны \( \frac{360°}{7} \), \( \frac{360°}{7} \) и \( \frac{540°}{7} \).