6. Докажите, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135°, то этот треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Пусть AN и BM — биссектрисы углов A и B соответственно. Они пересекаются в точке O.

По условию, угол между биссектрисами равен 135°. Предположим, что \( \angle AOB = 135° \).

В треугольнике AOB:

\( \angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC \)

\( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC \)

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°:

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( \frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ABC + 135° = 180° \)

\( \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - 135° \)

\( \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = 45° \)

\( \angle BAC + \angle ABC = 90° \)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \)

Подставим найденное значение \( \angle BAC + \angle ABC = 90° \):

\( 90° + \angle BCA = 180° \)

\( \angle BCA = 180° - 90° \)

\( \angle BCA = 90° \)

Таким образом, один из углов треугольника ABC равен 90°, что означает, что треугольник ABC — прямоугольный.

Что и требовалось доказать.