Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 8 и МВ = 13. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

По свойству биссектрисы треугольника:

AC / BC = AM / MB

AC / BC = 8 / 13

Пусть AC = 8x, BC = 13x.

По теореме о касательной и секущей:

CD^2 = DA * DB

Также, по свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

CD^2 = AD * BD

Используем теорему о внешнем угле треугольника:

AC^2 = AD * AB

BC^2 = BD * AB

AD = CD*AM/CM

BD = CD*MB/CM

8x^2 = AD * 21

13x^2 = BD * 21

По свойству касательной CD^2 = AD * BD

AD = AM * (AM + MB) / CD

DB= BM^2 / AD = 13^2 / AD

CD^2 = AD * DB

CD^2 = AD * (AD+ 21 )

По теореме о биссектрисе: AC/BC = AM/MB

Тогда по теореме об отрезках касательной и секущей, проведенных из точки D:

CD^2 = DA · DB

По свойству биссектрисы: AC/BC = AM/MB = 8/13

Пусть AC = 8x, BC = 13x

Тогда по теореме об отрезках касательной и секущей, проведенных из точки D:

CD^2 = AD * BD

По теореме о пропорциональных отрезках CD^2 = AD * BD , также выполняется свойство

AD / AC = AC/CD = CD/BC= BC/BD

По свойству касательной и секущей CD^2 = DA * DB

Поделим DB на AD

CD^2 = (8+13)*CD

По условию CD^2=DB*DA

CD=8*13=104