Билет 8, Задание 3: Диаметры AB и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°.

Решение:

Угол ∠BOD — центральный, и он равен дуге, на которую опирается, то есть дуге BD. Следовательно, дуга BD = 150°.

Угол ∠AOD — развёрнутый угол, поэтому ∠AOD = 180°.

Угол ∠AOB — также развёрнутый угол, ∠AOB = 180°.

Угол ∠BOD и угол ∠AOD являются смежными, их сумма равна 180°. Это неверно, так как AB и CD — диаметры, пересекающиеся в точке O, что означает, что они образуют вертикальные углы. ∠AOD и ∠BOC — вертикальные, ∠AOC и ∠BOD — вертикальные.

Так как ∠BOD = 150°, то и вертикальный ему угол ∠AOC = 150°.

Угол ∠AOD смежный с ∠BOD. Поэтому ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 150° = 30°.

Рассмотрим треугольник ∆ADO. Мы знаем, что AO и DO — это радиусы окружности, проведённые из центра O. Следовательно, ∆ADO — равнобедренный с основанием AD.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠OAD = ∠ADO.

Сумма углов в треугольнике ∆ADO равна 180°:

\[ \angle AOD + \angle OAD + \angle ADO = 180° \]

\[ 30° + \angle ADO + \angle ADO = 180° \]

\[ 2 \angle ADO = 180° - 30° \]

\[ 2 \angle ADO = 150° \]

\[ \angle ADO = \frac{150°}{2} = 75° \]

Ответ: ∠ADO = 75°.