Билет № 7 1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество. Назовите значения синуса, косинуса и тангенсов углов 30°, 45°, 60°. 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных фигур. 3) Задача.

Билет № 7

1) Определение тригонометрических функций острого угла:

• Синус (sin) острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус (cos) острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс (tg) острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Формулы соотношений:

Для острого угла α в прямоугольном треугольнике:

• sin α = (противолежащий катет) / гипотенуза
• cos α = (прилежащий катет) / гипотенуза
• tg α = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = sin α / cos α

Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

Значения тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°:

2) Теорема об отношении площадей подобных фигур: Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (отношению их соответствующих линейных размеров).

Доказательство (для треугольников):

Пусть даны два подобных треугольника ABC и A'B'C' с коэффициентом подобия k. Это означает, что A'B'/AB = B'C'/BC = A'C'/AC = k. Отношение площадей равно S(ABC) / S(A'B'C') = (1/2 * AB * h) / (1/2 * A'B' * h'), где h и h' — высоты, проведенные к соответствующим основаниям AB и A'B'. Так как треугольники подобны, то отношение их высот также равно коэффициенту подобия: h'/h = k. Следовательно, S(ABC) / S(A'B'C') = (AB * h) / (A'B' * h') = (AB / A'B') * (h / h') = (1/k) * (1/k) = 1/k². Таким образом, отношение площадей равно квадрату обратного коэффициента подобия, или S(A'B'C') / S(ABC) = k². Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

3) Задача: (Требуется условие задачи)