Билет № 4 1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай) 3) Задача.

Билет № 4

1) Определение и свойства ромба:

• Определение: Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.
• Свойства:
• Противоположные стороны параллельны (так как ромб — частный случай параллелограмма).
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

2) Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу (или половине градусной меры дуги, на которую он опирается).

Частный случай: Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Формулировка: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым (равен 90°).

Доказательство:

Пусть дан вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр AC. Центр окружности O лежит на AC. OA, OB, OC — радиусы окружности. Треугольники AOB и BOC являются равнобедренными (OA=OB и OB=OC). Следовательно, ∠OAB = ∠OBA и ∠OBC = ∠OCB. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Подставляя равные углы: ∠OAB + (∠OBA + ∠OBC) + ∠OCB = 180°. Заменяем ∠OBA на ∠OAB и ∠OCB на ∠OBC: ∠OAB + (∠OAB + ∠OBC) + ∠OBC = 180°. Упрощаем: 2∠OAB + 2∠OBC = 180°. Делим на 2: ∠OAB + ∠OBC = 90°. Но ∠OAB + ∠OBC = ∠ABC. Следовательно, ∠ABC = 90°.

3) Задача: (Требуется условие задачи)