Билет 7. 2. Докажите свойства смежных и вертикальных углов.

Краткое пояснение:

Смежные и вертикальные углы — это основные понятия в геометрии, связанные с пересечением прямых. Их свойства помогают нам определять величину углов и решать геометрические задачи.

Пошаговое решение:

• Смежные углы:
  • Определение: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой.
  • Свойство: Сумма смежных углов равна 180°.
  • Доказательство: Пусть углы ∠AOC и ∠COB — смежные. Их стороны OA и OB лежат на одной прямой, образуя развернутый угол ∠AOB, величина которого равна 180°. Угол ∠AOB состоит из суммы углов ∠AOC и ∠COB. Следовательно, ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°.
• Вертикальные углы:
  • Определение: Два угла называются вертикальными, если их стороны являются продолжениями друг друга.
  • Свойство: Вертикальные углы равны.
  • Доказательство: Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O. Образуются две пары вертикальных углов: ∠AOC и ∠BOD, а также ∠AOD и ∠BOC.
  • Рассмотрим углы ∠AOC и ∠AOD. Они являются смежными, поэтому ∠AOC + ∠AOD = 180°.
  • Рассмотрим углы ∠AOD и ∠BOD. Они также являются смежными, поэтому ∠AOD + ∠BOD = 180°.
  • Из этих двух равенств следует, что ∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD.
  • Вычитая ∠AOD из обеих частей равенства, получаем: ∠AOC = ∠BOD.
  • Аналогично доказывается равенство углов ∠AOD и ∠BOC.