Билет №4 1. Дайте определение вертикальных углов. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 2. Докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. Докажите равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из двух односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 3 раза больше другого. Найдите эти углы.

Решение:

1. Вертикальные углы:

• Вертикальные углы — это два угла, у которых одна вершина общая, а стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
• Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

2. Теорема о сумме углов треугольника:

Формулировка: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC. Проведем через вершину A прямую MN, параллельную стороне BC.
2. Так как MN || BC, то:
   • ∠B = ∠BAM (как накрест лежащие при параллельных прямых MN и BC и секущей AB).
   • ∠C = ∠CAN (как накрест лежащие при параллельных прямых MN и BC и секущей AC).
3. Углы ∠BAM, ∠BAC и ∠CAN являются смежными, так как лежат на прямой MN. Поэтому их сумма равна 180°: ∠BAM + ∠BAC + ∠CAN = 180°.
4. Подставим вместо ∠BAM угол ∠B, а вместо ∠CAN угол ∠C: ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°.
5. Таким образом, сумма углов треугольника ABC равна 180°.

3. Доказательство равенства треугольников ADM и AFE:

Для доказательства равенства треугольников ADM и AFE, нам нужна информация о равенстве сторон или углов, которая отсутствует на данном изображении. Если предположить, что ABCD и AFE - это параллелограммы или другие фигуры с известными свойствами, можно было бы применить признаки равенства треугольников.

Без дополнительной информации о равенстве сторон или углов, доказать равенство треугольников ADM и AFE невозможно.

4. Решение задачи:

Пусть два односторонних угла равны x и 3x.

Сумма односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.

x + 3x = 180°

4x = 180°

x = 180° / 4

x = 45°.

Один угол равен 45°.

Второй угол равен 3 * 45° = 135°.

Ответ: Углы равны 45° и 135°.